Status
Available
Library's review
Indeholder "Forord", "Maria Gaetana Agnesi", " Mere fantastisk end Milanos domkirke", " Kirkeligt arbejde og matematiske studier", " Instituzioni", " Efter faderens død", "Klassisk algebra", " Bogstavregningens regler", " Brøkregning", " Kvadratrod og andre rødder", " Potenser", " Den klassiske
"Forord" handler om at hendes lærebog fra 1748 er den første matematikbog skrevet af en kvinde.
"Maria Gaetana Agnesi" handler om hendes liv og den tid, hun levede i.
" Mere fantastisk end Milanos domkirke" handler om en, der havde tilbragt en aften i hendes selskab og var begejstret.
" Kirkeligt arbejde og matematiske studier" handler om et kompromis med faderen. Hun lod være med at gå i kloster og fik til gengæld udstrakt frihed.
" Instituzioni" handler om hendes lærebog, 2 bind på ca 500 sider hver. Trykt i hjemmet efter hendes forskrifter. Jeg tror Donald Knuth og Agnesi ville have forstået hinanden fint på det punkt.
" Efter faderens død" handler om årene 1752-1799. Hun dør i 1799, 80 år gammel efter at have gjort gode ting i kirkens navn i mange år.
"Klassisk algebra" handler om bog I (ud af 4) af Instituzioni, der er 500 sider, der beskriver samme stof som man ville gøre i dag.
" Bogstavregningens regler", " Brøkregning", " Kvadratrod og andre rødder" og " Potenser" forklarer disse emner og navnlig variationer fra hvad der nu er gængs skik.
" Den klassiske algebra" handler om Vieta, Descartes og Newton, som Agnesi bygger oven på. Klassisk algebra er addition, subtraktion, multiplikation, division og potenser med brøker som potens, men fx ikke 2^pi.
"Ligninger" er blot en overskrift.
" Den analytiske metode" handler om at man antager at man kender løsningen, kalder den x og så udleder nogle egenskaber ved den.
" Løsning af ligninger" handler om at isolere den ubekendt og Agnesi nævner ikke at det i sig selv kan være et problem.
" Andengradsligninger" handler om at løse disse.
" Ligninger med mere end en ubekendt" handler om både lineære systemer og dem, hvor de ubekendte indgår i højere potens.
" Den klassiske algebras ligninger" handler om polynomiumsligninger, at femte grad og højere ikke kan løses med lukkede udtryk og at 2^x ikke er et klassisk algebraisk udtryk, når x må antage ikke-rationelle værdier.
"Analytisk geometri" handler om kurver beskrevet med algebraiske udtryk.
" Hældning af tangent til cirkel" handler om løsning af et problem, som Agnesi ikke har stillet. Til gengæld illustrerer det samspil mellem klassisk geometri og analytisk ditto. Geometriske løsninger er typisk både elegante og trickede. Model: Få en god ide. Analytiske er typisk nemmere at generalisere.
" Strofoiden" handler om en blandt mange af de kurver, som Agnesi behandler i sin bog. Hun finder ligningen for strofoiden.
" Descartes' blad og parameterfremstillinger" handler om at finde gode måder at tegne Descartes' folium på. Hun finder en parameterfremstilling. Man kan også skifte koordinatsystem ved at dreje 45 grader og få en rarere fremstilling som ligning. y^2 = x^2 * (a*sqrt(2) - 2x) / (6x + sqrt(2)*a).
"Tredjegradsligninger" handler om at finde eksakte løsninger til tredjegradsligninger og hvordan man slipper af med andengradsleddet.
" Polynomiers division" handler om hvorfor man kan dividere en rod ud.
" Cardanos formel" handler om formlen for løsning af tredjegradsligningen. Komplekse tal er ikke standard, så Agnesi splitter op i diverse tilfælde for at slippe for at tage kvadratrod af negative tal.
" Komplekse tal" handler om hvordan Agnesi ikke var den første til at regne med komplekse tal og at de først blev ordentligt defineret efter hendes død. Her er også et geometrisk problem, der giver en tredjegradsligning. Givet længderne a, b og c på tre sammenhængende korder, der tilsammen udspænder en diameter i cirklen, find da diameteren. Det viser sig at dette giver ligningen x^3 - (a^2 + b^2 + c^2)x -2abc = 0 og ligningen er symmetrisk i a, b og c som ventet. Der er også lidt om ligninger af højere grad end 3.
"Tre optimeringsproblemer" handler om baggrunden for at forstå de tre næste afsnit. Agnesi har et par sjove tricks. For at differentiere y = sqrt(x), kvadrerer hun y^2 = x, differentierer 2y dy = dx, dividerer med 2y og med dx og får dy/dx = 1/(2y) = 1 / (2*sqrt(x)).
" Et stigeproblem" handler om at finde den korteste stige, der kan sættes op ad en væg, når man også skal forbi et a meter højt hegn placeret b meter fra væggen. Det er faktisk kanalproblemet i forklædning, så løsningen er (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).
" Ekstremumspunkter på en strofoide" handler om lidt regnerier på en strofoide.
" Descartes' blad og implicit differentiation" handler om at Descartes Folium er træls at regne på som y=f(x), men man kan nemt regne på tangenthældning i et punkt og det gør Agnesi så.
"Integraler og uendelige rækker" handler om integraler og vi er her i bog 3 i "Instituzioni". Vi kigger på integralet af 1/(1-x) for at studere logaritmefunktionen.
" Sum af en uendelig række" handler om ledvis integration af en potensrække for 1(1-x), voila en uendelig række for logaritmefunktionen. Lidt om divergens og konvergens af rækkesummer.
" Binomialformlen" handler om binomialformlen, men anvendt på snedig vis, fx K(1/2,n) og K(-1,n). Så får man en række udvikling for sqrt(1-x^2) = sum(n=0 til uendelig; K(1/2,n)(-x^2)^n). Hvis man integrerer ledvist på den og regner integralet fra 0 til 1 ud, får man pi/4 for det er arealet af en kvartcirkel.
"På vej mod den abstrakte algebra" handler om datidens matematikere, der udvidede begrebsapparatet, så bogstaver ikke bare kunne stå for tal, men for mere abstrakte begreber så fx flytninger og permutationer også kom ind under algebra.
" Permutationer" handler om hvordan permutationer kan opfattes som elementer i en gruppe, så man kan regne abstrakt med dem. At man ikke kan lave en formel for femtegradsligningen følger af denne teori, men ikke på nogen simpel måde.
" Regning med matricer" handler om række-søjle-multiplikation, determinant, invers matrix, produkt af matricer.
" Abstrakt algebra" handler om grupper.
" Legemer" handler om hvad man kan regne med og hvilke regneregler, man synes man skal bruge. Lidt om afstandsmål.
"Agnesi og oplysningstiden" handler om hendes levetid 1718-1799, der stort set er sammenfaldende med oplysningstiden.
" Den politiske situation og uddannelsesreformer" handler om kejserinde Maria Theresia og hendes reformer i 1740-1748.
" Salonkulturen" handler om saloner og den kulturelle frirum de gav, også til kvinderne.
" Andre bøger om algebra i 1700-tallet" handler om Leonhard Euler og hans Vollständige Anleitung zur Algebra og enkelte andre værker, Euler har mange flere taleksempler end Agnesi. En dansker Thomas Bugge er også med og udtrykker håbet om at han ikke bare bliver set som en sammenrapser.
" Et paradis for kvinder" handler om datidens vilkår for kvinder med interesse for matematik. Bologna beskrives som paradis, men ellers var der ikke meget at finde i Europa med Norditalien som undtagelsen.
" Troen og matematikken" handler om Agnesis tro på at matematik bør være en væsentlig del af en kristen opdragelse.
"Opgaver" handler om diverse opgaver i bogens emnekreds, fx Descartes blad og dens ligning i et andet koordinatsystem, kurvetangenter, tredjegradsligninger, kurver givet som geometrisk sted, Agnesis kurve, binomialformlen, rækkeudvikling, integraltilnærmelse vha rækkeudvikling i et begrænset antal led. udregning af pi, krydsprodukter, matricer, Sylvester-matrix, en trekants Fermat-punkt, Opgaveafsnittet fylder meget!
"Litteratur" handler om hvor man ellers kan finde noget om Agnesi og bogens emner.
"Henvisninger" handler om hvor i bogen, der er henvisninger til specielt Instituzioni.
"Stikordsregister" er et udmærket register til bogen.
Interessant bog, specielt fordi den er fra algebraens barndom og man kan se hvordan Agnesi har moret sig med at være en af de første til at regne på det, der nu er standardopgaver i enhver lærebog i calculus.
Der er sjove oplysninger, fx viste jeg ikke at Newton havde klassificeret tredjegradskurver i 72 typer. (Og faktisk er der 78 og Plücker finpudsede de 78 til 219, men det står nu ikke i denne bog.)
I afsnittet om binomialformlen er der en rækkeudvikling af pi: pi/4 = sum(n=0 til uendelig; (-1)^n * K(1/2,n) / (2n+1)). Pånær første led er alle led negative, så vi får
1 - 1/(2*3) - 1/(8*5) - 1/(16*7) - 5/(128*9) ...
Den konvergerer langsomt, men pænt. Her et python script der regner det ud.
(kvartpi, led, n) = (1, 1, 500000);
for j in range(1,n):
led = led * abs(1 - 3.0/(2*j))
kvartpi = kvartpi - led/(2*j+1)
print "Pi er med", n, "led ca", 4*kvartpi
Afrundingsfejl bliver hurtigt denne formels bane. Hvis man regner med 20 decimaler og 5000000 led får man
Pi er med 5000000 led ca 3.14159265362355502424, men hvis man bruger 30 decimaler får man
Pi er med 5000000 led ca 3.141592653623435009964563166008, dvs de sidste 8 decimaler ud af 20 skyldes tilfældige afrundingsfejl. (Og på samme måde er de sidste 8-9 stykker af de 30 heller ikke til at stole på.)
Og det har jeg fundet med følgende program i bc
kvartpi = led = 1
scale = 30
n = 5000000
define abs(x) {if (x lessthan 0) return -x; return x; }
for (j=1;j lessthan n;j++) {
led = led * abs(1 - 3.0/(2*j))
kvartpi = kvartpi - led/(2*j+1)
}
print "Pi er med ", n, " led ca ", 4*kvartpi, "n";
Show More
algebra", "Ligninger", " Den analytiske metode", " Løsning af ligninger", " Andengradsligninger", " Ligninger med mere end en ubekendt", " Den klassiske algebras ligninger", "Analytisk geometri", " Hældning af tangent til cirkel", " Strofoiden", " Descartes' blad og parameterfremstillinger", "Tredjegradsligninger", " Polynomiers division", " Cardanos formel", " Komplekse tal", "Tre optimeringsproblemer", " Et stigeproblem", " Ekstremumspunkter på en strofoide", " Descartes' blad og implicit differentiation", "Integraler og uendelige rækker", " Sum af en uendelig række", " Binomialformlen", "På vej mod den abstrakte algebra", " Permutationer", " Regning med matricer", " Abstrakt algebra", " Legemer", "Agnesi og oplysningstiden", " Den politiske situation og uddannelsesreformer", " Salonkulturen", " Andre bøger om algebra i 1700-tallet", " Et paradis for kvinder", " Troen og matematikken", "Opgaver", "Litteratur", "Henvisninger", "Stikordsregister"."Forord" handler om at hendes lærebog fra 1748 er den første matematikbog skrevet af en kvinde.
"Maria Gaetana Agnesi" handler om hendes liv og den tid, hun levede i.
" Mere fantastisk end Milanos domkirke" handler om en, der havde tilbragt en aften i hendes selskab og var begejstret.
" Kirkeligt arbejde og matematiske studier" handler om et kompromis med faderen. Hun lod være med at gå i kloster og fik til gengæld udstrakt frihed.
" Instituzioni" handler om hendes lærebog, 2 bind på ca 500 sider hver. Trykt i hjemmet efter hendes forskrifter. Jeg tror Donald Knuth og Agnesi ville have forstået hinanden fint på det punkt.
" Efter faderens død" handler om årene 1752-1799. Hun dør i 1799, 80 år gammel efter at have gjort gode ting i kirkens navn i mange år.
"Klassisk algebra" handler om bog I (ud af 4) af Instituzioni, der er 500 sider, der beskriver samme stof som man ville gøre i dag.
" Bogstavregningens regler", " Brøkregning", " Kvadratrod og andre rødder" og " Potenser" forklarer disse emner og navnlig variationer fra hvad der nu er gængs skik.
" Den klassiske algebra" handler om Vieta, Descartes og Newton, som Agnesi bygger oven på. Klassisk algebra er addition, subtraktion, multiplikation, division og potenser med brøker som potens, men fx ikke 2^pi.
"Ligninger" er blot en overskrift.
" Den analytiske metode" handler om at man antager at man kender løsningen, kalder den x og så udleder nogle egenskaber ved den.
" Løsning af ligninger" handler om at isolere den ubekendt og Agnesi nævner ikke at det i sig selv kan være et problem.
" Andengradsligninger" handler om at løse disse.
" Ligninger med mere end en ubekendt" handler om både lineære systemer og dem, hvor de ubekendte indgår i højere potens.
" Den klassiske algebras ligninger" handler om polynomiumsligninger, at femte grad og højere ikke kan løses med lukkede udtryk og at 2^x ikke er et klassisk algebraisk udtryk, når x må antage ikke-rationelle værdier.
"Analytisk geometri" handler om kurver beskrevet med algebraiske udtryk.
" Hældning af tangent til cirkel" handler om løsning af et problem, som Agnesi ikke har stillet. Til gengæld illustrerer det samspil mellem klassisk geometri og analytisk ditto. Geometriske løsninger er typisk både elegante og trickede. Model: Få en god ide. Analytiske er typisk nemmere at generalisere.
" Strofoiden" handler om en blandt mange af de kurver, som Agnesi behandler i sin bog. Hun finder ligningen for strofoiden.
" Descartes' blad og parameterfremstillinger" handler om at finde gode måder at tegne Descartes' folium på. Hun finder en parameterfremstilling. Man kan også skifte koordinatsystem ved at dreje 45 grader og få en rarere fremstilling som ligning. y^2 = x^2 * (a*sqrt(2) - 2x) / (6x + sqrt(2)*a).
"Tredjegradsligninger" handler om at finde eksakte løsninger til tredjegradsligninger og hvordan man slipper af med andengradsleddet.
" Polynomiers division" handler om hvorfor man kan dividere en rod ud.
" Cardanos formel" handler om formlen for løsning af tredjegradsligningen. Komplekse tal er ikke standard, så Agnesi splitter op i diverse tilfælde for at slippe for at tage kvadratrod af negative tal.
" Komplekse tal" handler om hvordan Agnesi ikke var den første til at regne med komplekse tal og at de først blev ordentligt defineret efter hendes død. Her er også et geometrisk problem, der giver en tredjegradsligning. Givet længderne a, b og c på tre sammenhængende korder, der tilsammen udspænder en diameter i cirklen, find da diameteren. Det viser sig at dette giver ligningen x^3 - (a^2 + b^2 + c^2)x -2abc = 0 og ligningen er symmetrisk i a, b og c som ventet. Der er også lidt om ligninger af højere grad end 3.
"Tre optimeringsproblemer" handler om baggrunden for at forstå de tre næste afsnit. Agnesi har et par sjove tricks. For at differentiere y = sqrt(x), kvadrerer hun y^2 = x, differentierer 2y dy = dx, dividerer med 2y og med dx og får dy/dx = 1/(2y) = 1 / (2*sqrt(x)).
" Et stigeproblem" handler om at finde den korteste stige, der kan sættes op ad en væg, når man også skal forbi et a meter højt hegn placeret b meter fra væggen. Det er faktisk kanalproblemet i forklædning, så løsningen er (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).
" Ekstremumspunkter på en strofoide" handler om lidt regnerier på en strofoide.
" Descartes' blad og implicit differentiation" handler om at Descartes Folium er træls at regne på som y=f(x), men man kan nemt regne på tangenthældning i et punkt og det gør Agnesi så.
"Integraler og uendelige rækker" handler om integraler og vi er her i bog 3 i "Instituzioni". Vi kigger på integralet af 1/(1-x) for at studere logaritmefunktionen.
" Sum af en uendelig række" handler om ledvis integration af en potensrække for 1(1-x), voila en uendelig række for logaritmefunktionen. Lidt om divergens og konvergens af rækkesummer.
" Binomialformlen" handler om binomialformlen, men anvendt på snedig vis, fx K(1/2,n) og K(-1,n). Så får man en række udvikling for sqrt(1-x^2) = sum(n=0 til uendelig; K(1/2,n)(-x^2)^n). Hvis man integrerer ledvist på den og regner integralet fra 0 til 1 ud, får man pi/4 for det er arealet af en kvartcirkel.
"På vej mod den abstrakte algebra" handler om datidens matematikere, der udvidede begrebsapparatet, så bogstaver ikke bare kunne stå for tal, men for mere abstrakte begreber så fx flytninger og permutationer også kom ind under algebra.
" Permutationer" handler om hvordan permutationer kan opfattes som elementer i en gruppe, så man kan regne abstrakt med dem. At man ikke kan lave en formel for femtegradsligningen følger af denne teori, men ikke på nogen simpel måde.
" Regning med matricer" handler om række-søjle-multiplikation, determinant, invers matrix, produkt af matricer.
" Abstrakt algebra" handler om grupper.
" Legemer" handler om hvad man kan regne med og hvilke regneregler, man synes man skal bruge. Lidt om afstandsmål.
"Agnesi og oplysningstiden" handler om hendes levetid 1718-1799, der stort set er sammenfaldende med oplysningstiden.
" Den politiske situation og uddannelsesreformer" handler om kejserinde Maria Theresia og hendes reformer i 1740-1748.
" Salonkulturen" handler om saloner og den kulturelle frirum de gav, også til kvinderne.
" Andre bøger om algebra i 1700-tallet" handler om Leonhard Euler og hans Vollständige Anleitung zur Algebra og enkelte andre værker, Euler har mange flere taleksempler end Agnesi. En dansker Thomas Bugge er også med og udtrykker håbet om at han ikke bare bliver set som en sammenrapser.
" Et paradis for kvinder" handler om datidens vilkår for kvinder med interesse for matematik. Bologna beskrives som paradis, men ellers var der ikke meget at finde i Europa med Norditalien som undtagelsen.
" Troen og matematikken" handler om Agnesis tro på at matematik bør være en væsentlig del af en kristen opdragelse.
"Opgaver" handler om diverse opgaver i bogens emnekreds, fx Descartes blad og dens ligning i et andet koordinatsystem, kurvetangenter, tredjegradsligninger, kurver givet som geometrisk sted, Agnesis kurve, binomialformlen, rækkeudvikling, integraltilnærmelse vha rækkeudvikling i et begrænset antal led. udregning af pi, krydsprodukter, matricer, Sylvester-matrix, en trekants Fermat-punkt, Opgaveafsnittet fylder meget!
"Litteratur" handler om hvor man ellers kan finde noget om Agnesi og bogens emner.
"Henvisninger" handler om hvor i bogen, der er henvisninger til specielt Instituzioni.
"Stikordsregister" er et udmærket register til bogen.
Interessant bog, specielt fordi den er fra algebraens barndom og man kan se hvordan Agnesi har moret sig med at være en af de første til at regne på det, der nu er standardopgaver i enhver lærebog i calculus.
Der er sjove oplysninger, fx viste jeg ikke at Newton havde klassificeret tredjegradskurver i 72 typer. (Og faktisk er der 78 og Plücker finpudsede de 78 til 219, men det står nu ikke i denne bog.)
I afsnittet om binomialformlen er der en rækkeudvikling af pi: pi/4 = sum(n=0 til uendelig; (-1)^n * K(1/2,n) / (2n+1)). Pånær første led er alle led negative, så vi får
1 - 1/(2*3) - 1/(8*5) - 1/(16*7) - 5/(128*9) ...
Den konvergerer langsomt, men pænt. Her et python script der regner det ud.
(kvartpi, led, n) = (1, 1, 500000);
for j in range(1,n):
led = led * abs(1 - 3.0/(2*j))
kvartpi = kvartpi - led/(2*j+1)
print "Pi er med", n, "led ca", 4*kvartpi
Afrundingsfejl bliver hurtigt denne formels bane. Hvis man regner med 20 decimaler og 5000000 led får man
Pi er med 5000000 led ca 3.14159265362355502424, men hvis man bruger 30 decimaler får man
Pi er med 5000000 led ca 3.141592653623435009964563166008, dvs de sidste 8 decimaler ud af 20 skyldes tilfældige afrundingsfejl. (Og på samme måde er de sidste 8-9 stykker af de 30 heller ikke til at stole på.)
Og det har jeg fundet med følgende program i bc
kvartpi = led = 1
scale = 30
n = 5000000
define abs(x) {if (x lessthan 0) return -x; return x; }
for (j=1;j lessthan n;j++) {
led = led * abs(1 - 3.0/(2*j))
kvartpi = kvartpi - led/(2*j+1)
}
print "Pi er med ", n, " led ca ", 4*kvartpi, "n";
Show Less
Publication
Matematiklærerforeningen, 2012
Language
Original language
Danish
Physical description
160 p.; 20.9 cm
ISBN
9788790996581
Local notes
Omslag: Kurt Finsten
Omslaget viser en ung kvinde, der sidder og læser
Omslagsillustrationen er en gengivelse af Jean-Honoré Fragonard: Young Girl Reading (ca 1776) og forestiller således ikke Maria Gaetana Agnesi
Indskannet omslag - N650U - 150 dpi
Omslaget viser en ung kvinde, der sidder og læser
Omslagsillustrationen er en gengivelse af Jean-Honoré Fragonard: Young Girl Reading (ca 1776) og forestiller således ikke Maria Gaetana Agnesi
Indskannet omslag - N650U - 150 dpi
Pages
160